英会話の中級クラスに通っていたり、10年以上前に英検2級を取っていたりと、割と英語は得意な人から「tired は動詞じゃないんですか」という質問がありました。
動詞は「tire（～を疲れさせる）」ですね。
This job tires me.「この仕事は私を疲れさせる」
という形で使えます。
tire の受動態が be tired です。
I am tired.「私は疲れている（疲れさせられている）」
というおなじみの使い方ですね。
つまり、tired は tire の過去形・過去分詞形ということで、動詞には違いないのです。
ただ、過去分詞形 の tired が独り歩きして形容詞化しているので、形容詞として使うこともできます。
A tired boy was sitting on the bench.「疲れた男の子がベンチに座っていた」
というように、名詞の前に付けて使えます。
さらに言うと、現在分詞形の tiring も形容詞になっています。
I hate this tiring task.「この疲れる仕事が嫌だ」
こんなふうに物事の名詞の前に付けて使います。
人の前に tiring を付けてしまうと
Jun is a tiring man.「ジュンは一緒にいて疲れるやつだ」
または、tire には「～を退屈させる」という意味もあるので
「ジュンは退屈なやつだ」
という悪口になってしまいます。
現在分詞や過去分詞が形容詞化したものは他にもたくさんあります。
excite「～を興奮させる」（動詞）
exciting「（物事が人を）興奮させる」（形容詞）
excited「（人が）興奮している」（形容詞）
bore「～を退屈させる」（動詞）
boring「（物事が人を）退屈させる」（形容詞）
bored「（人が）退屈している」（形容詞）
これらはとても間違えやすいので気を付けてください。
I'm boring.
と言ってしまうと「私は退屈な人間です」という自虐です。
I'm bored.「私は退屈している」
が正しい使い方です。